Recopilamos en este capítulo las propiedades básicas de los números complejos, ya vistas a lo largo de cursos anteriores. Como libros de consulta pueden usarse, por ejemplo, Apostol, T.M.: An´alisis Matem´atico (segunda edici´on). Reverté , Barcelona (1991) (algunas explicaciones est´an m´as detalladas en Apostol, T.M.: Calculus, vol. I (segunda edición). Reverté, Barcelona (1989); para practicar con operaciones y representaciones gráficas, Spiegel, M.R.: Variable compleja. Mc-Graw Hill (colecci´on Schaum) (1971).
Definición: C = {(a, b) : a, b ∈ R} con las operaciones
SUMA: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
PRODUCTO: (a, b).(c, d) = (ac − bd, bc + ad)
Obsérvese que, como conjunto, C es en realidad R2. La novedad (y lo interesante como veremos) está en introducir el producto, pues se comprueba f´acilmente que C con las dos operaciones anteriores se obtiene un cuerpo conmutativo, con (0, 0) y (1, 0) como elementos neutros respectivos. Además, el cuerpo C contiene al cuerpo R. Precisemos esta afirmación:
La aplicación a ∈ R −→ (a, 0) ∈ C es un homomorfismo inyectivo decuerpos.
Esta identificación de R como subcuerpo de C nos permite usar la notación simplificada a = (a, 0), y observando que todo elemento (a, b) ∈ C se puede escribir como (a, b) = (a, 0).(1, 0) + (b, 0)(0, 1), si denotamos i = (0, 1), con esta nueva nomenclatura, tenemos (a, b) = a + ib.
Esta forma de escribir un número complejo (forma binómica) hace más facil la multiplicación. En efecto, teniendo en cuenta que i 2 = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1 comprobamos que (a, b).(c, d) = (ac − bd, bc + ad) se traduce en (a + ib).(c + id) = ac − bd + i (bc + ad), donde para hacer esta operación sólo hace falta recordar las reglas habituales de la multiplicaci´on y las identificaciones anteriores. Cuando se utiliza una sola letra para denotar un n´umero complejo, se suele elegir la z, y si z = a + ib con a, b ∈ R, los n´umeros a, b se llaman partes real e imaginaria de z, respectivamente. Escribiremos entonces a = e z, b = mz.
Desde el punto de vista algebraico, la principal ventaja de C es que soluciona el defecto algebraico de R de no ser algebraicamente cerrado, es decir, de que existan ecuaciones polin´omicas con coeficientes reales que no tienen soluciones reales. El ejemplo m´as aparente es x2 + 1 = 0. Esto ya no va a ocurrir en C.
Propiedades Alegráicas de los Números complejos
Recogiendo de manera abreviada lo que acabamos de exponer, resulta:
1. C es un espacio vectorial sobre R de dimensión 2 ({1, i } es la base canónica).
2. C es un cuerpo conmutativo que contiene un subcuerpo isomorfo a R.
3. Existe un elemento de C solución de z2 + 1 (precisamente i es solución).
Pero, mucho más general,Ces algebraicamente cerrado, i.e., todo polinomio con coeficientes complejos tiene una solución en C.
Este hecho no es fácil de demostrar con argumentos elementales pero, más adelante, será una consecuencia sencilla del an´alisis que desarrollaremos sobre C. Además, C es el menor cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a R. Con mayor precisi´on, si un cuerpo algebraicamente cerrado contiene un subcuerpo isomorfo a R, debe contener un subcuerpo isomorfo a C.
4. Aplicaci´on conjugación. La aplicación de C en C definida por z = a + ib −→ z = a − ib
Tiene las siguientes propiedades:
1. Es un isomorfismo de cuerpo (z + w = z + w, zw = zw).
2. Es una proyecci´on (z = z).
3. Deja fijo el cuerpo R (z = z si y solo si z ∈ R).
5. Aplicación módulo. La aplicaci´on de C en R+ definida por z = a + ib → z = + √zz = + a2 + b2 tiene las siguientes propiedades:
1. z ≥ 0, z = 0 ⇔ z = 0.
2. z + w ≤ z + w (desigualdad triangular).
3. zw = zw. Una consecuencia de estas propiedades es la que suele llamarse desigualdad
triangular inversa.
4. z − w ≥ z − w.
6. En C no existe un orden total compatible con la estructura algebraica que extienda el orden de R.
En efecto, si éste fuera el caso los elementos i y 0 deberían ser comparables.
Entonces, ó i > 0, en cuyo caso por la compatibilidad con el producto tendríamos i 2 = −1 > 0, ó i < 2 =" −1"> 0, con lo cual, obviamente , no se extiende el orden de R.
Observaciones.
1. En la construcci´on de los n´umeros se busca siempre solucionar un defecto, pero con una
propiedad de minimalidad. As´ı, en los contenidos N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, Z es el menor grupo
que contiene a N, Q es el menor cuerpo que contiene a Z, R es el menor cuerpo completo que
contiene a Q y C es el menor cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a R.
2. Hay otros contextos matem´aticos que llevan a construcciones de C, es decir a la construcci´on
de cuerpos isomorfos a nuestro C. Dos ejemplos son los siguientes:
b= Im z O a = Re z z φ z=(a,b )
i) Sea R[x] el anillo de polinomios en una variable con coeficientes reales (con las operaciones
habituales). Sea I el ideal maximal generado por el polinomio x2+1. Entonces, el espacio
cociente R/I, con las operaciones inducidas, resulta ser un cuerpo conmutativo isomorfo a C.
ii) Sea M(2 × 2;R) el anillo de las matrices 2 × 2 con coeficientes reales, con las operaciones
habituales. El subanillo M = { a b − b a : a, b ∈ R} es un cuerpo conmutativo isomorfo a C.
El Plano complejos
Debido a la identificación entre C y R2, todo número complejo z = a+ib lo podemos representar en el plano como el punto de coordenadas (a, b). Pero además, es de gran inter´es la llamada representación polar de un número complejo. Observemos que todo punto del plano z = 0 queda unívocamente determinado por su distancia al origen y por el ángulo que forma el segmento [0, z] con el eje real.
Dicha distancia ya sabemos que es el módulo, y el ángulo va a dar lugar al concepto de argumento de un número complejo. Mirando la figura, tenemos las igualdades e z = z cos φ, mz = z sen φ, de donde z = z(cos φ + i sen φ) = zeiφ. Aquí hemos utilizado la notación e iφ = cos φ + i sen φ.
De momento, la igualdad anterior se debe interpretar como una definición, aunque más adelante se corresponderá con el valor en iφ de la función exponencial compleja. Notemos que en este punto damos por bueno que las funciones seno y coseno del Análisis matemático se corresponden con las funciones definidas gráficamente en Trigonometría, sin que para ello tengamos ninguna justificación rigurosa. Para ser totalmente honestos, ni siquiera tenemos hasta ahora una definición rigurosa de las funciones seno y coseno: nos hemos conformado con admitir su existencia y propiedades. Volveremos sobre este punto cuando estudiemos las funciones
elementales básicas.
Observación importante.
La definición de módulo no plantea ninguna ambigüedad, pero no así la del ángulo (o argumento) puesto que φ y φ + 2kπ con k ∈ Z hacen el mismo papel. Esto nos hace abordar las siguientes precisiones sobre la definición de argumento.
Definición. Dado z ∈ C \ {0}, arg z = {φ ∈ R : cos φ = e z/z, sen φ = mz/z}. Por tanto, arg z es un conjunto! Pero ‘es obvio’ que es de la forma {φ0 + 2kπ : φ0 ∈ arg z, k ∈ Z}. Es decir, conocido un argumento de z, cualquier otro se diferencia de éste en un múltiplo entero de 2π. De esta forma, en cualquier intervalo semiabierto de longitud 2π, [α, α + 2π) o (α, α + 2π], α ∈ R, existe un único elemento perteneciente al conjunto arg z. Éste elemento se le denota por Arg[α,α+2π) z (respectivamente, por Arg(α,α+2π] z). Normalmente, se toma el intervalo (−π, π] y se escribe simplemente: Arg(−π,π] z = Arg z. A este argumento se le llama argumento principal (precaución: en algunos textos se llama argumento principal al que está en el intervalo [0, 2π)). La expresión eiφ, φ ∈ R (recuérdese que, de momento, es cos φ +i sen φ por definición) tiene las mismas propiedades algebraicas que la exponencial real.
eiφeiψ = ei(φ+ψ), φ, ψ ∈ R, (eiφ)n = einφ, φ ∈ R, n ∈ N, (eiφ)−1 = ei (−φ), φ ∈ R.
Raíz n-ésimade un Número complejo
La representacián polar tiene especial importancia en este estudio, pues usándola, es fíáil ver que, dado z = 0 y n ∈ N, la ecuacián wn = z tiene exactamente n soluciones, que son:
w = z1/nei Arg z+2kπ n , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
Si queremos alguna notacón, √n z debería denotar el conjunto de estos n elementos, aunque en algunos textos,√n z indica solamente el valor z1/nei Arg z n (que nosotros llamaremos raíz n-ésima principal).
El tema continua en la siguiente dirección: http://edgartorrealbatelecom.blogspot.com/
